変な不等式
以前花粉症の薬をもらいに耳鼻科に行ったときのことです。
耳鼻科の先生「この薬はね、効き目が悪いと思ったら倍量飲んでくださいね」
私「はい」
このとき私はn倍飲んでいいんだ、合法ODじゃんとか思ってました。インターネットで調べてみると2倍の量って書いてました。つまり2錠まで飲めるよってことでした。
さて今日も数学の話題についてです。昨日のJensenの不等式を使うと簡単に解ける問題です。
問題
関数$ f(x) = \ln {(1+\exp x)} $は任意の実数$ x $に対して$ \frac{d^2 f(x)}{dx^2} \geq 0 $を満たす。この事実とJensenの不等式を用いて、$\alpha _i \geq 0 , $ $ \sum\limits _{i=1} ^n \alpha _i =1 $を満たす任意の$ \alpha _1, ......,\alpha _n $と任意の正数$ y_i $、$ z_i $、$ i = 1, ...... , n $に対して以下の不等式が成立することを示せ。
（ヒント：$ x_i = \ln y_i - \ln z_i $とせよ）
$$ \prod \limits _{i=1} ^n {y_i ^{\alpha _i}} + \prod \limits _{i=1} ^n {z_i ^{\alpha _i}} \leq \prod \limits _{i=1} ^n {(y_i + z_i) ^{\alpha _i}} $$
（ヒント：$ x_i = \ln y_i - \ln z_i $とせよ）
$$ \prod \limits _{i=1} ^n {y_i ^{\alpha _i}} + \prod \limits _{i=1} ^n {z_i ^{\alpha _i}} \leq \prod \limits _{i=1} ^n {(y_i + z_i) ^{\alpha _i}} $$
この不等式を示せってだけ書かれてたら難易度爆上がりだなとか感じます。うれしいことにヒントとJensenの不等式を使えるので存分に使っていきます。
まずJensenの不等式がどんなのだったか見てきます。
$$ \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i f(x_i)} \geq f( \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i x_i}) $$
こんなんでした。
続いてJensenの不等式の左辺を計算します。
\begin{align} \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i f(x_i)} & = \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i \ln \Bigl(1+ \exp[x_i]\Bigr)} \\\ & = \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i \ln \Bigl(1+\exp[\ln \frac{y_i}{z_i}] \Bigr)} \\\ & = \sum \limits _{i=1} ^n {\ln \Bigl(1+ \frac{y_i}{z_i}\Bigr)^{\alpha _i}} \end{align}
となります。
ここで総和と総乗（総積ともいうっぽい）の関係について触れます。
総和は
$$ \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i } = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 +......+\alpha_n $$
という感じで足し算をまとめたものでした。
総乗は
$$ \prod \limits _{i=1} ^n {\alpha _i } = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdot \ ......\ \cdot \alpha_n $$
みたいに掛け算をまとめたものです。
さて$ \log $の性質として足し算を掛け算にできるみたいなやつがありました。
$$ \log(\alpha) + \log(\beta) = \log(\alpha \beta) $$
この性質より左辺は結局のところ
\begin{align} \text{(左辺)}& = \sum \limits _{i=1} ^n {\ln \Bigl(1+ \frac{y_i}{z_i}\Bigr)^{\alpha _i}} \\\ & =\ln{\prod \limits _{i=1} ^n {\Bigl(1+ \frac{y_i}{z_i}\Bigr)^{\alpha _i}}} \end{align}
となります。
次にJensenの不等式の右辺を計算します。
\begin{align} f( \sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i x_i}) &= \ln\Bigl(1+\exp[\sum \limits _{i=1} ^n {\alpha _i x_i}]\Bigr) \\\ &= \ln\Bigl(1+\exp[\sum \limits _{i=1} ^n {\ln(\frac{y_i}{z_i})^{\alpha_i}}]\Bigr) \\\ &= \ln\Bigl(1+\exp[\ln \prod_{i=1}^n {(\frac{y_i}{z_i})^{\alpha_i}}]\Bigr) \\\ & = \ln\Bigl(1+\prod_{i=1}^n {(\frac{y_i}{z_i})^{\alpha_i}}\Bigr) \end{align}
となる。
まとめると
$$ \ln{\prod \limits _{i=1} ^n {\Bigl(1+ \frac{y_i}{z_i}\Bigr)^{\alpha _i}}} \geq \ln\Bigl(1+\prod_{i=1}^n {(\frac{y_i}{z_i})^{\alpha_i}}\Bigr) $$
$$ \prod \limits _{i=1} ^n {\Bigl(1+ \frac{y_i}{z_i}\Bigr)^{\alpha _i}} \geq 1+\prod_{i=1}^n {(\frac{y_i}{z_i})^{\alpha_i}} $$
両辺に$ \prod \limits _{i=1}^n {z_i^{\alpha_i}} $をかけると
$$ \prod \limits _{i=1} ^n {(y_i + z_i) ^{\alpha _i}} \geq \prod \limits _{i=1} ^n {y_i ^{\alpha _i}} + \prod \limits _{i=1} ^n {z_i ^{\alpha _i}} $$
となる。
以上より不等式が成立することを示した。
この不等式ってなんて名前なんですかね。教えてエロい人。
